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[le résultat d'une division en mathématiques] vignette En mathématiques, le
résultat d’une division est un QUOTIENT et un RESTE. Le reste est nul si le
quotient des deux nombres de la division est exact, sinon ce quotient est
approximatif. Une division est dite EUCLIDIENNE quand son dividende, son
diviseur et son quotient sont des nombres entiers naturels. Dans une division
euclidienne, le produit du quotient et du diviseur plus le reste est égal au
dividende, et le reste est un entier naturel strictement inférieur au
diviseur. Un nombre entier est multiple d’un autre entier non nul si et
seulement si, dans une division euclidienne, le quotient de la valeur absolue
du premier par la valeur absolue du second est exact, autrement dit, si et
seulement si le reste de cette division euclidienne est nul. En informatique,
un tel reste est obtenu par l'opérateur modulo.
** Entiers naturels
Si _a_ et _d_ sont des entiers naturels, avec _d_ différent de zéro, il est
prouvé qu'il existe deux entiers uniques _q_ et _r_, tel que _a_ = _qd_ + _r_
et 0 ≤ _r_ < _d_. Le nombre _q_ est appelé le quotient, alors que _r_ est le
RESTE.
La division euclidienne donne une preuve de ce résultat, tout comme une
méthode pour l'obtenir.
*** Exemples
- En divisant 13 par 10, on obtient 1 comme quotient et 3 comme reste, car 13 = 1×10 + 3.
- En divisant 26 par 4, on obtient 6 comme quotient et 2 comme reste, car 26 = 6×4 + 2.
- En divisant 56 par 7, on obtient 8 comme quotient et 0 comme reste, car 56 = 7×8 + 0.
** Entiers relatifs
Il est possible d'étendre la définition précédente à l'ensemble des entiers
relatifs.
Si <math>a</math> et <math>d</math> sont des entiers relatifs, avec
<math>d</math> différent de zéro, alors le reste <math>r</math> est un entier
tel que <math>a = q d + r</math>, <math>q</math> étant un entier et <math>0
\leq\, \mid r \mid \,\leq\, \mid d\ \mid</math>.
Cette définition permet de former deux restes différents pour la même
division. Par exemple, la division de <math>-42</math> par <math>-5</math>
s'exprime par
<math> -42 = 9\times (-5) + 3 </math>
ou
<math> -42 = 8\times (-5) + (-2) </math>
Le reste peut donc être soit <math>3</math> ou <math>-2</math>.
Cette ambiguïté est peu importante en pratique. En effet, en ajoutant le
diviseur (<math>-5</math> dans l'exemple) au reste positif (<math>3</math>
dans l'exemple), on obtient le reste négatif (<math>-2</math> dans l'exemple)
et réciproquement. De façon générale, dans le cas d'une division euclidienne
dans l'ensemble des entiers relatifs, si <math>d</math> est le diviseur,
<math>r_1</math> est le reste positif, et <math>r_2</math> est le reste
négatif, alors
<math>r_1 = r_2 + d</math>
** Nombres réels
Lorsque _a_ et _d_ sont des nombres réels, avec _d_ différent de zéro, _d_ ne
peut diviser _a_ sans reste, le quotient étant un autre nombre réel.
Cependant, si le quotient est entier, le concept de reste est encore valide.
Il est prouvé qu'il existe un entier unique _q_ et un reste réel _r_ tel que
_a_ = _qd_ + _r_ avec 0 ≤ _r_ < |_d_|. Comme dans le cas de la division
d'entiers relatifs, le reste peut être négatif, c'est-à-dire -|_d_| < _r_ ≤ 0.
Généraliser la notion de reste pour les nombres réels tel que décrit dans le
paragraphe précédent n'a pas d'importance théorique en mathématiques.
Pourtant, plusieurs langages de programmation l'offrent.
** Sur les inégalités
Dans les définitions données, il y a une inégalité qui était soit 0 ≤ _r_ <
|_d_| ou -|_d_| < _r_ ≤ 0. Elle est nécessaire pour assurer que le reste est
unique. Le choix d'une telle inégalité est arbitraire : n'importe quelle
condition de la forme _x_ < _r_ ≤ _x_ + |_d_| (ou _x_ ≤ _r_ < _x_ + |_d_|), où
_x_ est constant, garantit que le reste est unique.
** Voir aussi
[wiktionary = reste]
- Algorithme d'Euclide
- Arithmétique modulaire
** Liens externes
[Liens]
[Opérations binaires] [mathématiques]
Catégorie:Divisibilité et factorisation