From fr.wikipedia.org:
[mathématiques]
En mathématiques, le mot INVARIANT possède suivant le contexte différentes
significations. Par exemple, le seul nombre égal à son triple est zéro, le
seul ÉLÉMENT INVARIANT d’une fonction qui multiplie par trois n’importe quel
nombre, réel ou entier. Les notions d’ INVARIANCE interviennent aussi bien en
géométrie et en topologie qu’en analyse et en algèbre.
** Invariant d'une transformation
[[File:CarreInvariant.svg|thumb|Un carré est globablement invariant par une
rotation d'un quart de tour de centre le centre du carré ;<br/> ce centre est
un point invariant par la rotation.]] Si _g_ : _E_→_E_ est une application, un
invariant de _g_ est un POINT FIXE, c'est-à-dire un élément _x_ de _E_ qui est
sa propre image par _g_ :
<math> g(x)=x~. </math>
Pour une telle application _g_, une partie _P_ de _E_ est dite :
- INVARIANTE POINT PAR POINT si tous ses éléments sont des points fixes ;
- GLOBALEMENT INVARIANTE par _g_ , ou _stable_ par _g_ , si <math> g(P)\subset P </math> , c'est-à-dire : <math> \forall x\in P : g(x) \in P </math> (cette propriété est moins forte que la précédente).
Ces notions interviennent souvent en systèmes dynamiques, pour les
transformations géométriques et pour les actions de groupe. En effet, les
invariants d'une application peuvent apporter des informations à son sujet.
- En géométrie euclidienne , l'unique point invariant d'une similitude directe (qui n'est pas une translation) du plan euclidien sera son centre.
- En réduction des endomorphismes , un sous-espace vectoriel _F_ de _E_ est dit invariant par une application linéaire _g_ lorsqu'il est globalement invariant par _g_ .
- Pour une action (à gauche) d'un groupe _G_ sur un ensemble _X_ , un point _x_ est dit invariant lorsque pour tout élément _g_ de _G_ on a : [1= _g_ . _x_ = _x_] .
** Propriété invariante
Une propriété est dite invariante lorsqu'un procédé ne la modifie pas. Une
propriété concerne un objet ou un ensemble d'objets donné. Différentes
constructions peuvent être menées pour construire des objets de nature
similaire : partie, complémentaire, somme, produits, quotient, recollement,
extension…
L'invariance d'une propriété caractérise sa stabilité sous ces constructions.
** Au sens de la théorie des catégories
Pour une catégorie donnée, un invariant est une quantité ou un objet
associé(e) à chaque objet de la catégorie, et qui ne dépend que de la classe
d'isomorphisme de l'objet, éventuellement à isomorphisme près.
Le langage des invariants est particulièrement adapté à la topologie
algébrique.
** En théorie des graphes
On dit qu'un nombre associé à un graphe est un invariant de graphe, s'il n'est
pas modifié par un isomorphisme de graphes. Par exemple, le nombre
chromatique est un invariant de graphe.
** Généralisation
Dans la résolution de problèmes, le principe d'invariant peut être généralisé
à celui de variant. Savoir comment une certaine quantité varie peut permettre
de progresser dans une démonstration.
Un cas particulier de variant est le monovariant, qui varie de manière
monotone à chaque étape. Cette nouvelle contrainte peut par exemple montrer
qu'un algorithme se termine toujours.
Les invariants sont des cas particuliers de variants et de monovariants.
** Bibliographie
- [titre=Invariant]
- [title=Invariant]
** Articles connexes
- Invariant topologique
- Système invariant
- Théorème des facteurs invariants
- Théorie des invariants
** Liens externes
[Liens]
[mathématiques]
Catégorie:Vocabulaire des mathématiques Catégorie:Méthode formelle